| 荧火 |
08-4-15 13:02 |
【专题制作】有关牛吃草问题的几种思路及其演变问题
专题制作】有关牛吃草问题的几种思路及其演变问题
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牛吃草问题是行测数学运算中的重要问题，也是我们考生最头疼的问题。不过头疼归头疼，我们还是要试着去把这拦路虎打倒了。为了实现这目标，我在论坛上找了很久，看了很久，终于找到了几种解题办法，与大家分享。也感谢给出思路的几位前辈，谢谢！
先把我自己看到的方法跟大家一起分享,再给出论坛前辈们的经验
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一、问题提出
有这样的问题，如：牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周？这类问题统称为"牛吃草"问题，它们的共同特点是由于每个单位时间草的数量在发生变化，从而导致时间不同，草的总量也不相同。
目前小学奥数辅导教材中对此类问题的通用解法是用算术方法求出每个单位时间草的变化量等于多少头牛的吃草量，再求出原有草的量等于多少头牛的吃草量，从而得出答案。这种方法在数量之间的关系换算上较麻烦，一旦题目增加难度，或与工程问题结合，转成进水排水问题，常常使人找不到解题的正确思路。如果用方程思想求解此类问题，思路可以清晰，步骤也可以明确，并形成一个通用的方法。
二、方程解题方法
用方程思路解决"牛吃草"问题的步骤可以概括为三步：
1、 设定原有草的总量和单位时间草的变化量，一般设原有总量为1，单位时间变化量为X；
2、 列出表格，分别表示牛的数量、时间总量、草的总量（原有总量+一定时间内变化的量）、每头牛单位时间吃草数量
3、 根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方程求解X，从而可以求出任意时间的草的总量，也可以求出每头牛单位时间吃草数量。从而针对题目问题设未知数为Y进行求解。
下面结合几个例题进行分析：
例题1：一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃几周？
解：第一步：设牧场原有草量为1，每周新长草X；
第二步：列表格如下:
| 牛的数量 | 27 | 23 | 21 | 时间
| 6 | 9 | Y | 草的总量
| 1+6*X | 1+9*X | 1+Y*X |
根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方程求解X
有方程 (1+6*X) / (27*6) = (1+9*X) / (23*9)
求出X 然后代到 (1+9*X) / (23*9) = (1+Y*X)/21*Y
牛吃草还有多种出题方式,例如
题目演变之一(青草减少)
例题2：由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？
解：第一步，设牧场原有草量为1，每天减少草X；
第二步，列表如下：
| 牛的数量 | 20
| 16
| 11 | | 时间 | 5 | 6 | Y | | 草的总量 | 1-5X | 1-6X | 1-YX | | 每头牛单位时间吃草数量 | （1-5X）/20*5 | （1-6X）/16*6 | （1-YX）/11Y
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第三步：根据表格第四行彼此相等列出方程： (1-5X)/20*5 = (1-6X)/16*6 (1)
(1-5X)/20*5 = (1-6X)/16*6 (1)
(1-5X)/20*5 = (1-YX)/11Y (2)
由（1）得到X=1/30，代入（2）得到Y=8（天）
题目演变之二(排水问题)
例题3：有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干， 10台抽水机需抽 8时，8台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？
解：第一步：设水池原有水量为1，每小时泉水涌出X；
第二步：列表格如下：
| 抽水机数量 | 10 | 8 | 6 | | 时间 | 8 | 12 | Y | | 水的总量 | 1+8X | 1+12X | 1+YX | 每台抽水机单位时间抽水数量
| （1+8X）/10*8 | （1+12X）/8*12 | （1+YX）/6Y |
第三步：根据表格第四行彼此相等列出议程：
（1+8X）/10*8=（1+12X）/8*12 （1）
（1+8X）/10*8=（1+YX）/6Y （2）
由1得到X=1/12，代入（2）得到Y=24（小时）
题目演变之三(排队问题)
例题5：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍 10分钟消失，那么需同时开几个检票口？(
解：第一步：设开始检票之前人数为1，每分钟来人X；
第二步：列表格如下：
| 检票口数量 | 5 | 6 | Y | | 时间 | 30
| 20 | 10 | | 人数总量 | 1+30X | 1+20X | 1+10X | | 每个检票口单位时间检票数量 | （1+30X）/50*30 | （1+20X）/6*20 | （1+10X）/10Y |
第三步：根据表格第四行彼此相等列出方程：
(1+30X)/5*30 = (1+20X)/6*20 (1)
(1+30X)/5*30 = (1+10X)/10Y (2)
由（1）得到X=1/20， 代入（2）得到Y=9（个）
题目演变之四(数量上限问题)
ID:楚风 就给出了新的问题,
连接:http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9659847.html
题目类似 : 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天,要使这片草地上的草永远吃不完，至少可以放几头牛？(晕哦 类似可持续发展问题)
解答:
最多可以供多少牛吃,其实换言之,就是永远不要动原有草量(因为如果每天草的增量不够,只要吃一份的原有草量,就总有一天会吃完),每天的牛刚好吃完草的增量就可以,牛的数量就是牛的最大数值
那么从上可以解得
x+20y=20*10
x+10y=15*10
x为原有草量
y为每天新增草量
解得y=5
所以最多只能供5头牛吃,可以永远吃不完草场的草
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感谢Q友:m_jorro 纠正我的错误,因为我也是转其他人的文章,没有一一验证答案 只是觉得题目类型不错,就直接拿来了,现已改正.
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题目演变之五(宇宙超级霹雳无敌简便方法)
所谓最高境界是 无招胜有招
ID: yoyu 给出一个巨简单的公式,如果记住公式就什么都解决了
连接:http://bbs.qzzn.com/read.php?tid=9353126
内容:我做了点小修改,原来的公式也许有人不明白
核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数
例如:10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天?
解:可用公式,设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天
则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N
可得X=5,Y=5
编者解析:这里设的是一头牛一天吃的草为单位 1 .
而(10-X)*20 这个代表的是 草场 最初始的草量
他的意思是 X头牛每天负责把新长出来的草吃掉,那么草场相当与没长草.......
剩下 10-X 头牛 就负责吃 草场 初始草 (类似分工合作性质)...
那一天就吃 10-X 单位的草 吃了20天吃完 15-X 头牛吃了 10天
就可以算出X了
不知道 大家明白么?
题目演变之六(漏水问题)
ID :wwj198364
连接:http://bbs.qzzn.com/read.php?tid=9118329
题目:一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人？
分析：这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量)因此，这道题的解题步骤与“例1”完全一样
论坛其他Q友提供的解析及题目
ID:亨利王
三步法解“牛吃草问题”
http://bbs.qzzn.com/read.php?tid=9426720
ID:雨后留香
《行政职业能力测试》基础原理汇编&新补充2
http://bbs.qzzn.com/read.php?tid=44727
ID:wany112
牛吃草问题各种题型演练DONE
http://bbs.qzzn.com/read.php?tid=9146085
总结
其实牛吃草就是把握一点 剔除变量与抓住不变量
多联系,熟练后,不管公式还是表格,都没必要去硬记
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