| 清水天一 |
08-6-20 14:54 |
疆考备战之数学运算
数学运算解题关键——隐藏条件
在公务员考试中，数学运算的比重大、分值高，是想拿高分的考生的必争题目。但大多数考生面对这一部分题目的时候感觉到无从下手。其实数学运算题目的运算过程是非常简单的，难点在于如何掌握所有解题必需的条件。而几乎所有的数学运算题目中都并不是给出全部条，而是隐含着一些间接条件。所以根据题目给定条件，运用自己的数学知识，通过缜密、发散式的思考，找出题目的隐藏条件成为解决数学运算题目的关键。那么如何找出隐藏条件呢？下面我们举一道很多考生都有疑问的题目来分析一下。
例：一只游轮从A港顺流而下到B港，马上又逆水返回A港，共用8小时，顺水每小时比逆水每小时多行12千米，前4小时比后4小时多行30千米。A、B两港相距多少千米？
A.72 B.60 C.55 D.48
我们可以先捋一下题目中给定的条件：1.“共用8小时”；2.“顺水每小时比逆水每小时多行12千米”；3.“前4小时比后4小时多行30千米”。仔细分析这三个条件，发现如果我们再知道顺水或逆水行驶的时间就可解题。或者知道顺水或逆水的速度，也可以应用代入法来得到答案。好，那我们试用下方程法。设顺水速度为x，可列方程得xy=（x－12）×（8－y），其中y为顺水行驶单程的时间。到这里方程进行不下去了，但还有一个条件“前4小时比后4小时多行30千米”没有用上。现在我们画图来看看这个条件应该怎么运用。
C点为游轮行驶4小时到达的地点。从图中我们可以观察到“前4小时比后4小时多行30千米”即为线段AB+BC－AC=30千米。如果CD=BC，那么AB－AD=30千米。由此找到了一个很重要的隐藏条件，即30千米为顺水行驶单程的时间内，顺水行驶比逆水行驶多走的路程。这样我们可以计算顺水行驶单程的时间为30÷12=2.5小时。方程中的y已经求得，一元一次方程完整了，可以解得x=22。由此求得A、B两港间距离为22×2.5=55千米。
由上例我们可以看出，先假设未知条件已知，然后根据其它已知条件结合数量关系就可找到隐藏条件，解决问题。
先学会做，一般应用题
公考数学运算之一般应用题浅谈
公务员考试中，数学运算题经常出现一般性的应用题。解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题迅速得以顺利地解决。
例题1：玩具厂工人要生产900个玩具，如果用手工要20个小时才能完成，用机器只需要4小时，工人们先用手工做了5小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成？
A．2 B.2.5 C.3 D.3.5
解析：手工做900个玩具要20个小时，则每小时做900÷20=45个，机器做900个需要4个小时，每小时做900÷4=225个，先手工做5小时，做5×45=225，还要做900-225=675个，所以还要做675÷225=3小时。
（900-900÷20×5）÷（900÷4）=3小时，所以答案为C。
例题2：百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果2个纸箱和1个木箱装的球鞋一样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？
A.60,30 B.50,45 C.45,35 D.40,50
解析：300双球鞋分装在2个木箱和6个纸箱里，如果球鞋全部装在木箱或者纸箱里，那么就可以求出1个木箱或者1个纸箱装多少双。因为2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，所以6个纸箱同3个木箱装的球鞋一样多，这样两个木箱和6个纸箱装的球鞋就与（2+3）木箱装的一样多，由此可以得出1个木箱装多少双。
300÷（2＋6÷2）=60双，60÷2=30双。所以选择A。
例题3：电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产90台电视机，可以完成生产任务。实际每天生产多生产5台，结果提前1天完成任务。这批电视机共有多少台？
A．1680 B.1710 C.1860 D.1920
解析：这道题的关键是求出工作时间，因为实际比原计划提前1天完成任务，这就相当于把原计划最后一天的工作任务平均分到前面的天数里去做，正好分完，实际上每天比原计划多生产5台，所以实际生产的天数是90÷5=18天，原计划生产的天数是18+1=19天，所以这批电视机的台数是90×19=1710台或（90＋5）×18=1710台。
90×（90÷5＋1）=1710或（90＋5）×（90÷5）=1710，所以选择B。
公考数学运算--数字运算（一）
1．直接利用补数法巧算
知识要点提示：
如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么我们就可以说这两个数互为补数，其中的一个加数叫做另一个加数的补数。
如：8＋2＝10，49＋51＝100，736＋264＝1000。
其中，8和2互为补数；49和51互为补数；736和264互为补数。
在加法计算中，如果能观察出两个加数互为补数，那么根据加法交换律、结合律，可以把这两个数先相加，凑成整十、整百、整千，……再与其它加数相加，这样计算起来比较简便。
例题 计算274＋135＋326＋265
解：原式 ＝（274＋326）＋（135＋265）＝600＋400＝1000
2．间接利用补数法巧算
如果两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。
例题 计算1986＋2381
解：原式＝2000－14＋2381
＝2000＋2381－14
＝6381－14＝6367
以上两种方法是把其中一个加数看作整十、整百、整千……，再去掉多加的部分（即补数），所以可称为“凑整去补法”。
3．相接近的若干数求和
下面的加法算式是若干个大小相接近的数连加，这样的加法算式也可以用巧妙的办法进行计算。
例题 计算1997+2002+1999+2003+1991+2005
解：经过观察，算式中6个加数都接近2000，我们把2000称为“基准数”。我们把这6个数都看作2000，则变为6个2000。如果多加了，就减去，少加了再加上，这样计算比较简便。
原式＝2000×6＋（-3＋2－1＋3－9＋5）
＝12000－3＝11997
4．乘法运算中的凑整法
知识要点提示：首先必须掌握一些最基本的凑整算式，具体如下：
5×2=10 25×4=100 25×8=200 25×16=400 125×4=500 125×8=1000 125×16=2000
625×4=2500 625×8=5000 625×16=10000
在此基础上进行乘法运算的灵活凑整。
例1 的值为：
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 （2005年中央甲类真题）
解析：原式＝（2.1×4×2.5＋9.7）÷（0.7＋30）
＝30.7÷30.7
＝1
所以，答案为A。
例2 计算：1.31×12.5×0.15×16
原式＝1.31×12.5×8×2×0.15＝1.31×100×2×0.15＝131×0.3＝39.3
例3 计算：0.0495×2500＋49.5×2.4＋51×4.95的值是( )
A． 4.95 B．49.5 C． 495 D． 4950
（2004年中央A类真题）
解析：原式＝0.0495×100×25＋4.95×10×2.4＋51×4.95
＝4.95×25＋4.95×24＋4.95×51
＝4.95×(25＋24＋51)
＝4.95×100
＝495
所以，答案为C。
公考数学运算--工程问题
1．相遇问题
知识要点提示：
甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A，B之间这段路程，如果两人同时出发，那么
AB之间的路程
=甲走的路程+乙走的路程
=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
=速度和×相遇时间
“相遇问题”的核心是速度和问题。
例题：两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米／秒，第二列车的车速为12．5米／秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长度为多少米？
A．60米 B．75米 C．80米 D．135米 （2004年A类真题）
解析：这是一个典型的速度和问题，两列火车的速度和为10米／秒+12．5米／秒＝22.5米／秒，两列火车以这样的速度共同行驶了6秒，行驶的距离也即第一列火车的长度。
即22.5米／秒×6秒＝135米。
2．追及问题
知识要点提示：
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的速度之差。如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内：
追及路程
＝甲走的路程－乙走的路程
＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间
＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间
“追及问题”的核心是速度差的问题。
例题： 甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米？
解析：甲对乙的追及速度差＝28千米/小时－24千米/小时＝4千米/小时，追及时间为4小时，则追及的距离为4千米/小时×4＝16千米，这也即两码头之间的距离。
3．流水问题
知识要点提示：
我们知道，船顺水航行时，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度（简称顺水速度）就等于船速与水速的和，即
顺水速度=船速+水速
同理
逆水速度=船速－水速
可推知
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度－逆水速度）÷2
例题1： 一条河的水流速度是每小时2千米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后逆流到达中游的乙地，共用6小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，从甲地到乙地相距12千米。求甲、乙丙两地的距离。
解析：先求出船在顺流中的速度。因为船在顺流中每小时要加上2千米，在逆流中要减去2千米，两者相差2+2=4（千米），那么船在顺流通渠道的时速是4×2=8（千米）。因为顺流速度等于逆流船速的2倍，所以船从上游到达下游所用的时间应等于船从下游到中游所用的时间。那只船从上游到下游所用的时间是6÷2=3（小时），甲、丙两地相距3×8=24（千米）。
例题2：小王从甲地到乙地，因有风，所以去时用了2个小时，回来时用了3个小时。已知甲乙两地的距离是60公里，求风速是多少？
A 5公里/小时 B 10公里/小时 C 15公里/小时 D 20公里/小时
解析：此题可采用代入法。也可设小王的速度为X，风速为Y，则可列如下方程：
X＋Y＝60÷2
X－Y＝60÷3
解得X＝25，Y＝5。
所以风速为5，答案为A。
例题3：河水的流速是每小时2000米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后调头逆行向上到达中游的乙地，共用时6小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，甲、乙两地相距12千米，问甲、丙两地相距多少千米？
A 24 B 18 C 16 D 14
解析：设逆水速度为V，则顺水速度为2V，设乙、丙两地相距S千米，则可列式如下：
根据顺水速度和逆水速度的公式可知，V＋2（公里）＝2V，则V＝2（公里），另外可知：
（12＋S）/4＋S/2＝6 解得S＝12。
所以，甲、丙两地的距离为12＋12＝24，即A。
4．行程问题的相关例题
例1 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：
A．80级 B．100级 C．120级 D．140级 （2005年中央真题）
解析；这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，
（X+2）×40=（X+3/2）×50
解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100
所以，答案为B。
例2 甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑 圈。丙比甲少跑 圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面：
A．85米 B．90米 C．100米 D．105米 （2005年中央真题）
解析：此题的解题关键是要跳出微观，在宏观上进行解题。依据行程问题的公式，在时间相同的情况下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比为8/7圈：1圈：6/7圈=8：7：6，所以当乙跑了2圈（800米）时，甲跑了700米，丙跑了600米。
所以，正确答案为C。
例3 某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是：
A．2.5：1 B．3：1 C．3.5：1 D．4：1 （2005年中央真题）
解析：典型流水问题。如果设逆水速度为V，设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程：
21/KV+4/V=12/KV+7/V
将V约掉，解得K=3
所以，正确答案为B。
例4 姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上了弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?
A．600米 B．800米 C．1200米 D．1600米 （2003年中央A类）
解析：此题将追及问题和一般路程问题结合起来，是一道经典习题。
首先求姐姐多少时间可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追击距离=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分种即可追上弟弟，在这4种内，小狗一直处于运动状态，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。
所以，正确答案为A。
例5 某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?
A．5倍 B．6倍 C．7倍 D．8倍 （2003年中央B类）
解析， 如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳模的地点在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和汽车所行的距离（2点到2点15分）相等。设劳模的步行速度为A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度的X倍，则可列方程
5/4A=1/4AX
解得 X=5
所以，正确答案为A。
例6 一辆汽车油箱中的汽油可供它在高速公路上行驶462公里或者在城市道路上行驶336公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行驶6公里，问每公升汽油可供该汽车在城市道路上行驶多少公里?
A．16 B．21 C．22 D．27 （2003年中央B类）
解析：基本路程问题，采用方程法，设每公升汽油可供该汽车在城市道路上行驶X公里，则可列如下方程
462÷X=336÷（X-6）
解得X=22
所以，正确答案为C。
注：此题亦可用速度差和路程差的关系来求解，速度将更快，详解过程本书略。
例7 甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0．1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是
A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 （2000年中央真题）
解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为X米/分，乙的速度为Y米/分，则依题意可列方程
8X+8Y=400×3
X-Y=6 （速度差0.1米/秒=6米/分）
从而解得 X=78 Y=72
由Y=72，可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。
例8 列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。
解析：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）。本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10+15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10+15）×14＝350（米）。又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和。
解：（10+15）×14
＝350（米）
最后得，乙车的车长为350米。
例9 甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时。在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少?
解析：设乙的速度为X，则甲的速度为2X，并可列如下方程
3×2X+4X=100
解得X=10
所以，甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时。
例10 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车比另一列长150米。时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟?
解析：首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止。因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和。因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和。
设某列火车的车长为X，则根据速度相等可列如下方程：
（250+X）÷25=（210+X）÷23
解得X=250
火车的速度为20米/秒 72公里/时=20米/秒
错车时间为（250+150）÷（20+20）=10
所以，错车时间为10秒。
公考数学运算--和、差、倍问题
核心要点提示：
和、差倍问题是已知大小两个数的和（或差）与它们的倍数关系，求大小两个数的值。
（和+差）÷2=较大数
（和－差）÷2=较小数
较大数一差＝较小数
这一题型应作为一个基本常识掌握，以加快解题的速度。
例1：甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本?
解析：设乙班的图书本数为l份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍。还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数。用下图表示它们的关系：
解：乙班：160÷（3十1）＝40（本）
甲班：40×3＝120（本）
或160—40＝120（本）
答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
例2 549是甲、乙、丙、丁4个数的和。如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等。求4个数各是多少?
解析 采用方程法，设相等的数为x，则甲为x—2，乙为x+2，丙为x÷2，丁为2x，则可列方程：x—2+x+2+x÷2+2x=549，x=122。
那么甲为122—2=120，乙为122+2=124，丙为122÷2=61，丁为2×122=244。
例3 河东小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，现知道五、六年级共有25幅画，求其它年级的画共有多少幅?
解法1 由“其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的”可知五年级比六年级多16-15=1（幅）画，又知“五、六年级共有25幅画”，根据和差问题的数量关系可知五年级有（25+1）÷2=13（幅）画，因此，其它年级的画共有16-13=3（幅）。
依据题意做如下图示：
六年级
五年级
四年级
三年级
二年级
一年级
16幅画不是六年级的，即黑色部分的人数总和16人
六年级
五年级
四年级
三年级
二年级
一年级
15幅画不是五年级的，即黑色部分的人数总和15人
黑色部分一做差即可求出五年级比六年级多1人，
解法2 设六年级有 幅画，那么五年级有x+（16－15），则可列方程：
x +（16－15）+x=25，
x=12
即六年级有12幅画，五年级有x+（16－15）=13幅画。
例4 有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生同每个男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，如此等等，最后一个到会的女生和7个男生握过手，那么这50名学生中有几名男生?
解法1 从题目中已经知道参加联欢会的男生和女生共有50名。因此，如果能知道男生人数与女生人数的差，即可按和差问题的数量关系求出男生有多少人。
为了使题目中的条件更容易分析，我们不妨将女生的顺序反过来，从后往前看。也就是说：最后一个到会的女生同7个男生握过手；倒数第二个到会的女生同8个男生握过手；倒数第三个到会的女生同9个男生握过手，如此等等，第一个到会（即倒数最后一个）的女生同全部男生握过手。由此，立即可知，男生人数比女生的人数多6个人。因此，男生人数为
（50+6）÷2=28（人）
解法2 设女生人数为x人，则男生人数为（6+x）人，则可列方程：
x +6+x=50，
x=22（人）
公考数学运算--方阵问题
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果 行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：
1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
A．256人 B．250人 C．225人 D．196人 （2002年A类真题）
解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
所以，正确答案为A。
例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？
分析 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：
去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
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解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17
方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289（人）
例3 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 （2005年中央真题）
解析：设当围成一个正方形时，每边有硬币X枚，此时总的硬币枚数为4（X-1），当变成三角形时，则此时的硬币枚数为3（X＋5-1），由此可列方和为
4（X-1）=3（X＋5-1）解得
X=16 总的硬币枚数为60，则总价值为3元。
所以，正确答案为C。
公考数学运算--做对或做错题的问题
例1 某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数相差多少？
A.33 B.99 C.17 D.16 （2004年山东省真题）
解析：采用方程法。设做对X道，做错Y道，则可列如下方程
X+Y=50
3X-Y=82
解得X=33 Y=17
所以，正确答案为D。
例2 某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，做错一道题倒扣2分，小周共得96分，问他做错了多少道题？
A．12 B．4 C．2 D．5
解析：方法一，假设某人在做题时前面24道题都做对了，这时他应该得到96分，后面还有6道题，如果让这最后6道题的得分为0即可满足题意。这6道题的得分怎么才能为0分呢？根据规则只要做对2道做错4道即可，据此我们可知做错的题为4道，做对的题为26道，所以本题选择B。
方法二，做对一道可得4分，如果没做对反而扣2分，这一正一负差距就变成了6分。30道题全做对可得120分，而现在只得到了96分，意味着差踞为24分，用24÷6＝4即可得到做错的题，所以可知选择B。
例3 某次考试有15道判断题，每做对一道题得8分，不做或做错一道题倒扣4分，甲考生得了96分，他作对了几道题?
A．14 B．13 C．12 D．11
正确答案【B】，解略。
公务员考试数学运算--容斥原理
1．关键提示：
容斥原理是2004年、2005年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，其实，容斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。
2．核心公式：
（1）两个集合的容斥关系公式：
A＋B＝A∪B＋A∩B
（2）三个集合的容斥关系公式：
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
例题1：2004年中央A类真题
某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A．22 B．18 C．28 D．26
解析：设A＝第一次考试中及格的人（26），B＝第二次考试中及格的人（24）
显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，
则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22
所以，答案为A。
例题2：2004年山东真题
某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（ ）人
A.57 B.73 C.130 D.69
解析：设A＝会骑自行车的人（68），B＝会游泳的人（62）
显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，
则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57
所以，答案为A。
例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？
解析：设A＝看过2频道的人（62），B＝看过8频道的人（34）
显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人（11）
则根据公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85
所以，两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15
所以，答案为15。
例题4：2005年中央A类真题
对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：
A．22人 B．28人 C．30人 D．36人
解析：设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）
A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）
B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）
A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）
A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）
根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）
＝148－（100＋18＋16－12）＝26
所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C
＝52－16－26＋12
＝22
公务员考试数学运算--最小公倍数和最小公约数问题
1．关键提示：
最小公倍数与最大公约数的题一般不难，但一定要细致审题，千万不要粗心。另外这类题往往和日期（星期几）问题联系在一起，考生也要学会求余。
2．核心定义：
（1）最大公约数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
（2）最小公倍数：如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫这几个数的最小公倍数。
例题1：甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要：
A．60天 B．180天 C．540天 D．1620天 （2003年浙江真题）
解析：下次相遇要多少天，也即求5，9，12的最小公倍数，可用代入法，也可直接求。显然5，9，12的最小公倍数为5×3×3×4＝180。
所以，答案为B。
例题2：三位采购员定期去某商店，小王每隔9天去一次，大刘每隔11天去一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相会，下次相会是星期几?
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
解析：此题乍看上去是求9，11，7的最小公倍数的问题，但这里有一个关键词，即“每隔”，“每隔9天”也即“每10天”，所以此题实际上是求10，12，8的最小公倍数。10，12，8的最小公倍数为5×2×2×3×2＝120。120÷7＝17余1，
所以，下一次相会则是在星期三，选择C。
例题3：赛马场的跑马道600米长，现有甲、乙、丙三匹马，甲1分钟跑2圈，乙1分钟跑3圈，丙1分钟跑4圈。如果这三匹马并排在起跑线上，同时往一个方向跑，请问经过几分钟，这三匹马自出发后第一次并排在起跑线上?( )
A．1／2 B．1 C．6 D．12
解析：此题是一道有迷惑性的题，“1分钟跑2圈”和“2分钟跑1圈”是不同概念，不要等同于去求最小公倍数的题。显然1分钟之后，无论甲、乙、丙跑几圈都回到了起跑线上。
所以，答案为B。
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