| 天字1号 |
08-6-26 11:28 |
【分享】60道数学运算题目的分析（第二部分11～20道）
【分享汇总】所发帖子汇总方便查找！(08-7-19 :10:50 update)
11. 下列哪项能被11整除？
A．937845678 B．235789453 C．436728839 D．867392267
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【天字一号解析】
9＋7＋4＋6＋8＝34
3＋8＋5＋7＝23
34－23＝11
所以 答案是A
所有的奇数位置上的数之和－所有偶数位置上数字之和＝11的倍数 那么这个数就能被11整除。
这类题目属于数字整除特性题目我们这里就顺便介绍几个这样的规律：
（1）
1与0的特性：
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.
0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
（2）
若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）
若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4） 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5） 若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6） 若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
12. 甲乙二人分别从相距若干公里的A、B两地同时出发相向而行，相遇后各自继续前进，甲又经1小时到达B地，乙又经4小时到达A地，甲走完全程用了几小时
A．2 B．3 C. 4 D．6
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【天字一号解析】
这个题目只要抓住固定不变的部分，不管他的时间怎么边速度比是不变的。
假设相遇时用了a小时
那么甲走了a小时的路程 乙需要4小时
根据速度比＝时间的反比
则V甲：V乙＝4 ：a
那么乙走了a小时的路程 甲走了1小时
还是根据速度比＝时间的反比
则 V甲：V乙＝a ：1
即得到 4：a＝a:1
a=2
所以答案是甲需要1＋2＝3小时走完全程！
13. 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4八个数字做成的八位数，共可做成______个。
A 2940 B 3040 C 3142 D 3144
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【天字一号解析】
这个题目 我在另外一个排列组合的帖子曾经讲过！
我们不妨先把这8个数字看作互不相同的数字，0暂时也不考虑是否能够放在最高位
那么这组数字的排列就是P(8,8)，但是，事实上里面有3个1，和2个2，我们知道3个1我们在P(8,8)中是把它作为不同的数字排列的，现在相同了，那我们就必须从P(8,8)中扣除3个1的全排列P（3，3）关键这里是怎么扣除呢？ 记住因为全排列是分步完成的，我们知道在排列组合中，分步相乘，分类相加。 可见必须通过除掉P（3，3）才能去掉这部分重复的数字形成的重复排列。 2个2当然也是如此
所以不考虑0作为首位的情况是 P88/(P33×P22)
现在我们再来单独考虑0作为最高位的情况有多少种：P77/(P33×P22)
最后结果就是：P88/(P33×P22)－P77/(P33×P22)＝2940
14. A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有8人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人。三本书全读过的有多少人？（）
A.5 B.7 C.9 D.无法计算
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【天字一号解析】
这个题目我是借鉴的“天使在唱歌”总结的公式组来解答。根据题目的不同可以挑选其中的任意2组或者3组公式答题。
先来介绍一下公式：
首先这里不考虑都不参与的元素
（1）
A+B+T=总人数
（2）
A＋2B＋3T＝至少包含1种的总人数
（3）
B＋3T＝至少包含2种的总人数
这里介绍一下A、B、T分别是什么
看图 A＝x＋y＋z； B＝a＋b＋c；T＝三种都会或者都参加的人数
看这个题目我们要求的是看三本书全部读过的是多少人？实际上是求T
根据公式：
（1）
A＋B＋T＝20
（2）
A＋2B＋3T＝10＋12＋15＝37
（3）
B＋3T＝8＋9＋7＝24
（2）－（1）＝B＋2T＝17
结合（3）
得到T＝24－17＝7人
15. 一个9×11个小矩形组成的大矩形一共有多少个矩形？
A.2376 B.1188 C.2970 D.3200
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【天字一号解析】
这个题目其实很简单，主要是善于抓住题目的关键。这个题目我们看 问有多少个矩形。并不是我们认为的就是9×11＝99个。 事实上上上下下，左左右右可以由很多小的矩形组成新的大一点的矩形。所以。这个题目看上去比较棘手。那么我们为何不从矩形的概念入手呢。矩形是由横向2条平行线。纵向2条平行线相互垂直构成的。
知道这个我们就发现了解题的方法了， 9×11的格子 说明是10×12条线。
所以我们任意在横向和纵向上各取2条线 就能构成一个矩形。
所以答案就是 C10取2×C12取2＝2970
16. 一个布袋中有35个大小相同的球，其中白、红、黄三中颜色的球各10个，另有篮、绿两种颜色的球分别是3个、2个，试问一次至少取出多少个球才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色？
A、15 B、 16 C、17 D、14
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【天字一号解析】
这个题目是抽屉原理题目，我们在解答抽屉原理题目的时候要学会先找到什么是抽屉。抽屉有几个？然后还得注意在给抽屉平均分配的时候，会不会出现抽屉个数减少等问题。
这个题目我们先找什么是抽屉。很明显 颜色就是抽屉。 共计5种颜色，我们就确定了5个抽屉。 每种颜色的抽屉容量是各不相同的，这就导致后面有可能出现抽屉减少的现象。
要求是至少保证取出的球是4个同一颜色的。
我们最接近的是给每个抽屉放3个。 3×5＝15
但是请注意，绿色的抽屉容量只有2，所以我们只能放15－1＝14个。再放就必然导致前面的3个抽屉的某一个达到4个同色了。
此题答案选A
17. 22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？（ ）
A.50 B.46 C.38 D.35
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【天字一号解析】
“牛吃草”的问题 主要抓住草每天的增长速度这个变量。至于其原始草量有多少 ？不是我们关心的内容，为什么这么说，因为在我们计算的时候，实际上是根据差值求草长速度，那么原有的草量在2种情况中都是一样， 差值的时候被相减抵消了。有些题目可能面积不一样，但是每亩地的原始草量确实一样的。
再看这个有面积的题目，其实道理是一样的。我们只要将不同的转化为相同的， 面积不一样，但是没公亩的原有量和每天每亩草长的量是相同的。
根据这个
条件1：
(22×54)/33 这是每公亩的情况
条件2：
(17×84)/28 这是每公亩的情况
相减 (17×84)/28 －(22×54)/33＝（84－54）×a a表示每亩草长速度
解得a＝0.5 单位依旧是没头牛每公亩吃草的单位作为标准单位
最后我们假设x头牛24天可以吃完40公亩草
那么挑选上面的一个情况拿过来做对比：
(22×54)/33－24x/40＝(54-24)×0.5
即可解得x＝35头牛
18. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离
A、2 B、3 C、4 D、5
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【天字一号解析】
这个题目是关于多次相遇问题的类型。我先介绍一下多次相遇问题的模型。
例如：有这样一个多次相遇问题的模型图
S……………M…………N……E
SE这段路程，甲从S出发，乙从E出发，甲乙两个人在M处第一次相遇了，相遇的时候我们知道 甲行驶了 SM的长度。甲乙路程之和是SE 一个完整的路程。
N点是第2次相遇的地点。我们发现 此时从第一次相遇的点M开始到第2次相遇的点N。
甲走了ME＋EN，而乙在跟甲相同的时间下走了MS＋SN
我们再次发现：甲乙两者路程之和是 ME＋EN＋MS＋SN＝2SE
是2倍的全程。 你可以继续研究第3次相遇的情况。或者更多次。我们发现：
第一次相遇时，甲的路程或者乙的路程是1份的话。第2次相遇时 甲或者乙又行驶了2倍的第一次的路程。
看上述题目：我们发现 第一次相遇距离A点4千米。那么我们知道 从A出发的甲是走了4千米， 相遇后2人继续行驶，在距离B点3千米处相遇。说明甲又走了2×4＝8千米
画个图：
A．。。。。。。4.。。。。。3.。。。。。B
我们发现甲从开始到最后的总路程就是AB＋3
也就是3倍的第一次的距离。
所以AB＝3×4－3＝9千米
那么两个相遇点之间的距离就是 9－4－3＝2千米。 选A
19. 在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么相邻两车间隔多少分钟？
A.45 B50 C.60 D.80
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【天字一号解析】
我们知道 间隔一顶的时间就有一辆公交车超过小光或者小明。说明他们之间构成了追击问题。追击问题就是时间＝路程差/速度差。
再看，当汽车追上小光或者小明的时候，下一辆公交车在哪里呢就是公交车发车间隔时间的汽车距离。即发车间隔时间×汽车的速度。这就是汽车跟小光或者小明的路程差。
所以我们发现
小光被超过是10分钟，说明 V车－V小光＝1/10
（1）
小明被超过是20分钟
说明 V车－V小明＝1/20
（2）
我们要求间隔发车时间，只要知道汽车的速度就可以知道间隔发车时间了因为我们这里的汽车发车间隔距离都是单位1.
上面得到了（1），（2）两个推断。 同时我们知道小明的速度是小光的3倍
那么（1）×3－（2）＝2倍的汽车速度了
则汽车速度就是 (3/10-1/20)/2=1/8
则答案是 1/(1/8)=8分钟。
20. 一只船从甲码头到乙码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米，因此后2小时比前2小时多行18千米。那么甲乙两个码头距离是多少千米？
A、36 B、45 C、54 D、60
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【天字一号解析】
前2小时是逆水，后2小时是部分逆水＋顺水
如图：
0.。。。。。。。。。。。。。。。。逆水。。。。。。。。。。。。。。。。2（小时）
2.。。。逆水。。。X。。。。。。。。。。。顺水。。。。。。。。4（小时）
我们知道后2小时比前2小时多行18千米
我们看 ，把部分逆水的跟前2个小时相互抵消， 其实后2个小时就是顺水部分比逆水多出来的18，我们知道顺水速度每小时比逆水速度多12千米。那么18千米需要多少小时？
所以18/12=1.5小时 就是顺水时间。即X到4小时之间的时间间隔。 从而知道逆水时间是2.5小时。时间比是 3：5 可见速度比是 5：3 差2个比例点 对应12千米 则顺水速度是 12/2×5＝30
答案是30×1.5＝45 |
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