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[数算] 楚帅谈错位重排

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发表于 16-4-18 19:29 | |阅读模式
错位重排问题
                                     



1-6个元素的错位重排数分别为012944265 递推公式:Dm=m-1*[ Dm-1+ Dm-2]


错位重排模型:把编号为1-m的小球分别放入编号为1-m的箱子并且错位重排(即1号球不在1号箱子、2号球不在2号箱子…m号球不在m号箱子),且每个箱子一个球,有多少种不同情况?
楚香凝证明:假设总情况数为D(m)种,如果让1号球先选,有(m-1)种选择;假设1号球选的2号箱子,接下来让2号球选箱子,进行分类讨论:
①如果2号球选的1号箱子,相当于剩下的(m-2)个球进行错位重排,有D(m-2)种;
②如果2号球选的不是1号箱子,则题目可转化为把编号为2→m的小球分别放入编号为1、3→m的箱子错位重排(即2号球不在1号箱子、3号球不在3号箱子…m号球不在m号箱子),相当于m-1个球错位重排,有D(m-1)种;
所以可得D(m)=(m-1)*[D(m-1)+D(m-2)],得证;


例1:相邻的4个车位中停放了4辆不同的车,现将所有车开出后再重新停入这4个车位,要求所有车都不得停在原来的车位中,则一共有多少种不同的停放方式?    【北京2014】
A.9     B.12     C.14     D.16
楚香凝解析:四种元素错位重排有9种,选A


例2:相邻的4个车位中停放了4辆不同的车,现将所有车开出后再重新停入这4个车位,要求有两辆车停在原来的车位中,则一共有多少种不同的停放方式?
A.2     B.6     C.8     D.9
楚香凝解析:先选出停的正确的两辆车C(4  2)=6种,剩下两辆车错位重排有1种,共6*1=6种,选B


3:五个瓶子都贴有标签,其中恰好贴错了三个,贴错的可能情况有多少种? 【北京2006】
A.60     B.46     C.40     D.20
楚香凝解析:先选出贴错的3个瓶子C(5  3)=10种,三个贴错的瓶子相当于三个元素错位重排、有2种,共10*2=20,选D


4某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班,每人一天且不重复。若甲、乙两人都不能安排在星期五值班,则不同的排班方法共有(    )种。 【福建2007】
A.6    B.36    C.72    D.120
楚香凝解析:选择一个工作人员安排到星期五有三种情况,剩下四个人随便排A(4  4)=24种,共3*24=72,选C


例5:设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有(  )
A.30种     B.31种     C.32种     D.36种
楚香凝解析:总情况数A(5  5)=120种,都不相同相当于五个元素错位重排有44种,有一个杯盖和茶杯编号相同有C(5  1)*9=45种,所以满足题意的有120-44-45=31种,选B


6:从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有(   种?
A.280     B.240     C.180     D.96
楚香凝解析:除去甲乙从另外四人中找一个人当翻译,A(4 1)=4种,剩下的三个位置可以任意安排A(5 3)=60种,所以总共有4*60=240种,选B


7:某班期中考试和期末考试有四个人两次成绩都排前4名,已知有一名同学两次排名一样,则这四个人期末排名有几种可能?    【吉林政法2014】
A.4     B.6     C.8     D.10
楚香凝解析:相当于4个人中,其中一个位置不变、另外三个人错位重排,先选出位置不变的一个人有C(4 1)=4种、剩下三个人错位重排有2种情况,共4*2=8种,选C


8:从6名运动员中选4人参加4×100米接力,甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案有多少种?
A.120     B.240     C.180     D.60
楚香凝解析:
解法一:甲不能跑第一棒或第四棒的对立面是甲跑第一棒或者第四棒,总情况数=A(6  4)=360,其中“甲跑第一棒或者第四棒”的情况数有C(2  1)*A5  3=120,所以满足题意的情况数有360-120=240种,选B
解法二:因为甲不能跑第一棒和第四棒,所以第一棒有5种选择、第四棒有4种选择、第二棒有4种选择(包括甲)、第三棒有3种选择,所以共有5*4*4*3=240种,选B


例9:某单位有老陶和小刘等5名工作人员,需安排在星期一至星期五的中午值班,每人一次,若老陶星期一外出开会不能排,小刘有其他的事不能排在星期五,则不同的排法共有(    )种。   【上海B2012】
A.36     B.48     C.78     D.96
楚香凝解析:
解法一:老陶在周一有A(4  4)=24种,小刘在周五有A(4  4)=24种,老陶在周一且小刘在周五有A(3  3)=6种,老陶不在周一且小刘不在周五=总情况数-(老陶在周一)-(小刘在周五)+(老陶在周一且小刘在周五)=120-24-24+6=78种,选C
解法二:分类
①老陶在周五,剩下四人随便排,有A(4  4)=24种;
②老陶不在周五,老陶有3种选择,小刘有3种选择,剩下三人随便排,共3*3*A(3  3)=54种;
共24+54=78种,选C


例10:从6名运动员中选出4个参加4×100米接力,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?
A.204     B.228     C.252     D.312
楚香凝解析:正面入手,分两类
(1)跑第四棒的是甲,剩下三个位置随便排A(5  3)=60种;
(2)跑第四棒的不是甲,从除去甲乙剩下的四个人里选一个跑第四棒有4种,然后再从剩下四个人(除去甲)选一个跑第一棒,剩下两个位置随便排A(4 2)=12种,4*4*12=192种;
共60+192=252种,选C


例11:把“keeper”进行错位重排,使得每种字母所在位置跟原来都不同,有多少种方法?
A.3     B.6     C.12     D.36
楚香凝解析:字母keeper分别对应一二三四五六号位置;三个e只能排在146号位置、只有一种选择,kpr排在235号位置、有A(3  3)=6种选择,选B


例12:把三个a、三个b、三个c共九个字母排成三行三列,要求每行每列字母互不相同,不同排法有多少种?
A.6     B.12     C.18    D.24
楚香凝解析:第一行abc排列有A(3  3)=6种,第二行相当于三个元素错位重排、有2种,第二行排好之后第三行随之固定,共6*2=12种,选A

 楼主| 发表于 16-4-18 19:30 |
巩固练习题



13:某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员,交流到其他科室,如每个科室只能接收一个人的话,有多少种不同的人员安排方式?     【山东2015】
A.120     B.78     C.44     D.24


例14:幼儿园小班有7名小朋友,上课铃响慌乱中迅速回到座位上,结果只有3名小朋友坐到了自己的座位上,请问这样的情况一共有多少种?
A.315     B.350     C.385     D.420



15:大学生剧团从8名学生中选出4人分别担任甲、乙、丙、丁四个不同的表演角色,若其中有两名学生不能担任甲角色,则不同的挑选方案共有(    )。    江苏2010
A.1200种     B.1240种     C.1260种     D.2100种




16:甲乙丙丁戊五个人站队,要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位、丁不站在第四位,有多少种情况?
A.42    B.44    C.53     D.60




17:甲乙丙丁戊五个人站队,要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位,有多少种情况?
A.44    B.53    C.60    D.64


例18:把“hello”进行错位重排,使得每种字母所在位置跟原来都不同,有多少种方法?
A.3     B.6     C.12     D.24



例19:五对夫妇共10个人围坐一个圆桌,男女相隔而坐且每对夫妇不相对而坐的情况数有多少种?
A.264     B.528     C.1056     D.5280



发表于 16-4-18 19:56 |
学习...............
发表于 16-4-18 20:25 |
CACCD  CC    
发表于 16-4-18 21:29 |
CACCD CC
做题时间有点长了
 楼主| 发表于 16-4-18 21:50 |
巩固练习题答案:CACCD   CC


例13:某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员,交流到其他科室,如每个科室只能接收一个人的话,有多少种不同的人员安排方式?     【山东2015】
A.120     B.78     C.44     D.24
楚香凝解析:1-5个元素错位重排数分别为0、1、2、9、44,五个元素错位重排有44种,选C


例14:幼儿园小班有7名小朋友,上课铃响慌乱中迅速回到座位上,结果只有3名小朋友坐到了自己的座位上,请问这样的情况一共有多少种?
A.315     B.350     C.385     D.420
楚香凝解析:先选出4名坐错了的小朋友C(7  4)=35,然后4人错位重排有9种,共35*9=315种,选A


例15:大学生剧团从8名学生中选出4人分别担任甲、乙、丙、丁四个不同的表演角色,若其中有两名学生不能担任甲角色,则不同的挑选方案共有(    )。    【江苏2010】
A.1200种     B.1240种     C.1260种     D.2100种
楚香凝解析:两名同学不能担任甲角色,所以甲角色有6种选择,剩下的三个角色可以任意安排A(7  3),总共情况数=6*A(7  3)=1260人,选C


例16:甲乙丙丁戊五个人站队,要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位、丁不站在第四位,有多少种情况?
A.42     B.44     C.53     D.60
楚香凝解析:对戊进行分类讨论;当戊站在第五位时,相当于四个人错位重排,有9种;当戊不站在第五位时,相当于五个人错位重排,有44种;共9+44=53种,选C


例17:甲乙丙丁戊五个人站队,要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位,有多少种情况?
A.44     B.53     C.60     D.64
楚香凝解析:
解法一:分类讨论;
①丁在第四位,若戊在第五位,相当于甲乙丙三个人错位重排、有2种;若戊不在第五位,相当于甲乙丙戊四个人错位重排、有9种;
②丁不在第四位,若戊在第五位,相当于甲乙丙丁四个人错位重排、有9种;若戊不在第五位,相当于甲乙丙丁戊五个人错位重排、有44种;
共有2+9+9+44=64种,选D
解法二:容斥原理;
(甲不1且乙不2且丙不3)=(甲不1)-(甲不1且乙2)-(甲不1且丙3)+(甲不1且乙2且丙3)=4*A(4  4)-3*A(3  3)-3*A(3  3)+2*A(2  2)=96-18-18+4=64种,选D


例18:把“hello”进行错位重排,使得每种字母所在位置跟原来都不同,有多少种方法?
A.3     B.6     C.12     D.24
楚香凝解析:
解法一:第一个l记为l1,第二个l记为l2;44-(只l1在四号位)-(只l2在三号位)-(l1在四号位且l2在三号位)=44-9-9-2=24,因为l1和l2可以互换位置(比如l1l2 hoe和l2l1 hoe是同一种),24/2=12种,选C
解法二:先排两个l,有C(3  2)=3种;对于剩下三个元素“h、e、o”和三个位置,其中一个字母不能在原来的位置上,有A(3  3)-A(2  2)=4种;共3*4=12种,选C


例19:五对夫妇共10个人围坐一个圆桌,男女相隔而坐且每对夫妇不相对而坐的情况数有多少种?
A.264     B.528     C.1056     D.5280
楚香凝解析:先排五个男的,圆周排列,有A(4  4)=24种;顺时针分别给五人编号为1、3、5、7、9,则1号的妻子不坐6号位、3号的妻子不坐8号位、5号的妻子不坐10号位、7号的妻子不坐2号位、9号的妻子不坐4号位,有44种;共24*44=1056种,选C
发表于 16-5-1 19:57 |
感谢分享  
发表于 16-5-4 08:43 |
楚帅,公式Dm=(m-1)*[ D(m-1)+ D(m-2)]这个D代表什么啊,比如例1:D4=3*(D3+D2),

D(m-1)=?科普下数学 O(∩_∩)O~我试了下例1得不到9呢。不解,求解析O(∩_∩)O~
 楼主| 发表于 16-5-4 14:44 |

回 缺席琵琶手 的帖子

缺席琵琶手:楚帅,公式Dm=(m-1)*[ D(m-1)+ D(m-2)]这个D代表什么啊,比如例1:D4=3*(D3+D2),

D(m-1)=?科普下数学 O(∩_∩)O~我试了下例1得不到9呢。不解,求解析O(∩_∩)O~ (16-5-4 08:43)
D4表示四个元素错位重排的情况数,D5表示五个元素错位重排的情况数;
D4=(4-1)*[D3+D2]=(4-1)*(2+1)=9,
D5=(5-1)*[D4+D3]=(5-1)*(9+2)=44
发表于 16-5-4 21:27 |
楚帅真高手,跟着你继续学数学
发表于 16-5-18 17:37 |
o^_^o^_^很好,以前研究过,不过忘记了,现在加强印象。0.1.2.9.44
发表于 16-5-19 22:30 |
厉害~~我一般就是死记这几个数字:D
发表于 16-5-20 15:51 |
求一份电子档,谢谢826562407@qq.com
 楼主| 发表于 16-5-20 16:59 |
123zheng 发表于 2016-5-20 15:51
求一份电子档,谢谢

这个内容比较少,直接复制粘贴一下吧
发表于 16-5-21 12:48 |
楚香凝 发表于 2016-5-20 16:59
这个内容比较少,直接复制粘贴一下吧

额,不好意思,哈哈,我发错地方了,我是想麻烦您发份那个历年真题解析的word版呢,那个我复制了些,但是很乱,有些搞不了,拜托了,826562407@qq.com谢谢!

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